微分積分例

$2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$

ステップ 1

Set each solution of $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 25 (x^{2} - y^{2}) \to f (x) = 25 (x^{2} - y^{2})$

ステップ 2

Because the $y$ variable in the equation $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 25 (x^{2} - y^{2})$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (25 (x^{2} - y^{2}))$

ステップ 2.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x^{2} + y^{2}$ とします。

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 2.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x^{2} + y^{2}$ で置き換えます。

$2 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 2.2.3

微分します。

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ステップ 2.2.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

ステップ 2.2.3.2

総和則では、 $x^{2} + y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$4 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 2.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 2.2.6

簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

分配則を当てはめます。

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

ステップ 2.2.6.2

$(4 x^{2} + 4 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ の因数を並べ替えます。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$

ステップ 2.3

方程式の右辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

微分します。

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ステップ 2.3.1.1

$25$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $25 (x^{2} - y^{2})$ の微分係数は $25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$ です。

$25 \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}]$

ステップ 2.3.1.2

総和則では、 $x^{2} - y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ です。

$25 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

ステップ 2.3.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

ステップ 2.3.1.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$25 (2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}])$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$25 (2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 (2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$25 (2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$25 (2 x - 2 (y \frac{d}{d x} [y]))$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$25 (2 x - 2 y y')$

ステップ 2.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.5.1

分配則を当てはめます。

$25 (2 x) + 25 (- 2 y y')$

ステップ 2.3.5.2

項をまとめます。

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ステップ 2.3.5.2.1

$2$ に $25$ をかけます。

$50 x + 25 (- 2 y y')$

ステップ 2.3.5.2.2

$- 2$ に $25$ をかけます。

$50 x - 50 y y'$

ステップ 2.3.5.3

項を並べ替えます。

$- 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 2.5.1

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

書き換えます。

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.2

0を加えて簡約します。

$(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 2 y y') (4 x^{2} + 4 y^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.3.1

分配則を当てはめます。

$2 x (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.3.2

分配則を当てはめます。

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.3.3

分配則を当てはめます。

$2 x (4 x^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 4 x \cdot x^{2} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.4.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 \cdot 4 (x^{2} x) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 4 x^{2 + 1} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x^{3} + 2 x (4 y^{2}) + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 x^{3} + 2 \cdot 4 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.5

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.6

$4$ に $2$ をかけます。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y y' (4 y^{2}) = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.7

指数を足して $y$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.4.7.1

$y^{2}$ を移動させます。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.7.2

$y^{2}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.4.7.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.7.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 4 = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.1.4.8

$4$ に $2$ をかけます。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' = - 50 y y' + 50 x$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $50 y y'$ を足します。

$8 x^{3} + 8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x$

ステップ 2.5.3

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.3.1

方程式の両辺から $8 x^{3}$ を引きます。

$8 x y^{2} + 8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3}$

ステップ 2.5.3.2

方程式の両辺から $8 x y^{2}$ を引きます。

$8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 2.5.4

$2 y y'$ を $8 y y' x^{2} + 8 y^{3} y' + 50 y y'$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$2 y y'$ を $8 y y' x^{2}$ で因数分解します。

$2 y y' (4 x^{2}) + 8 y^{3} y' + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 2.5.4.2

$2 y y'$ を $8 y^{3} y'$ で因数分解します。

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 50 y y' = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 2.5.4.3

$2 y y'$ を $50 y y'$ で因数分解します。

$2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 2.5.4.4

$2 y y'$ を $2 y y' (4 x^{2}) + 2 y y' (4 y^{2})$ で因数分解します。

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25 = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 2.5.4.5

$2 y y'$ を $2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2}) + 2 y y' \cdot 25$ で因数分解します。

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$

ステップ 2.5.5

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ の各項を $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

$2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) = 50 x - 8 x^{3} - 8 x y^{2}$ の各項を $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ で割ります。

$\frac{2 y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 2.5.5.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 2.5.5.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y' (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.2.3

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.2.3.1

共通因数を約分します。

ステップ 2.5.5.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{50 x}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.1.1

$50$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.1.1.1

$2$ を $50 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.1.1.2.1

$2$ を $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (25 x)}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x^{3}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.2

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.1.2.1

$2$ を $- 8 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.1.2.2.1

$2$ を $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x^{3})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{(4) x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 8 x y^{2}}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.4

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.1.4.1

$2$ を $- 8 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.1.4.2.1

$2$ を $2 y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

ステップ 2.5.5.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{2 (- 4 x y^{2})}{2 (y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25))}$

ステップ 2.5.5.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.5

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.1.5.1

$y$ を $- 4 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.1.5.2.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{y (- 4 x y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.1.5.2.2

式を書き換えます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{- 4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

ステップ 2.5.5.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$

ステップ 2.5.5.3.2

$- \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{y}{y}$ を掛けます。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25} \cdot \frac{y}{y}$

ステップ 2.5.5.3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.3.1

$\frac{4 x y}{4 x^{2} + 4 y^{2} + 25}$ に $\frac{y}{y}$ をかけます。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y}$

ステップ 2.5.5.3.3.2

$(4 x^{2} + 4 y^{2} + 25) y$ の因数を並べ替えます。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} - \frac{4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$y' = - \frac{4 x^{3}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} + \frac{25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.5

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y \cdot y}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.6

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.6.1

$y$ を移動させます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x (y \cdot y)}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.6.2

$y$ に $y$ をかけます。

$y' = \frac{- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.7

$x$ を $- 4 x^{3} + 25 x - 4 x y^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.7.1

$x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + 25 x - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.7.2

$x$ を $25 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 - 4 x y^{2}}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.7.3

$x$ を $- 4 x y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25 + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.7.4

$x$ を $x (- 4 x^{2}) + x \cdot 25$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.7.5

$x$ を $x (- 4 x^{2} + 25) + x (- 4 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- 4 x^{2} + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.8

$- 1$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) + 25 - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.9

$25$ を $- 1 (- 25)$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2}) - 1 (- 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.10

$- 1$ を $- (4 x^{2}) - 1 (- 25)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.11

$- 1$ を $- 4 y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.12

$- 1$ を $- (4 x^{2} - 25) - (4 y^{2})$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.13

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.3.13.1

$- (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ を $- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})$ に書き換えます。

$y' = \frac{x (- 1 (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}))}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.5.5.3.13.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 2.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2})}{y (4 x^{2} + 4 y^{2} + 25)} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子を0に等しくします。

$x (4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}) = 0$

ステップ 3.2

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.2.3

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$

ステップ 3.2.3.2

$x$ について $4 x^{2} - 25 + 4 y^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.1.1

方程式の両辺に $25$ を足します。

$4 x^{2} + 4 y^{2} = 25$

ステップ 3.2.3.2.1.2

方程式の両辺から $4 y^{2}$ を引きます。

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$

ステップ 3.2.3.2.2

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.2.1

$4 x^{2} = 25 - 4 y^{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

ステップ 3.2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

ステップ 3.2.3.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- 4 y^{2}}{4}$

ステップ 3.2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.2.3.1

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.2.3.1.1

$4$ を $- 4 y^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4}$

ステップ 3.2.3.2.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.2.3.1.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 (1)}$

ステップ 3.2.3.2.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{4 (- y^{2})}{4 \cdot 1}$

ステップ 3.2.3.2.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{25}{4} + \frac{- y^{2}}{1}$

ステップ 3.2.3.2.2.3.1.2.4

$- y^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{25}{4} - y^{2}$

ステップ 3.2.3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$

ステップ 3.2.3.2.4

$\pm \sqrt{\frac{25}{4} - y^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.4.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{4} - y^{2}}$

ステップ 3.2.3.2.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} - y^{2}}$

ステップ 3.2.3.2.4.3

$\frac{5^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{5}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} - y^{2}}$

ステップ 3.2.3.2.4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{5}{2}$ であり、 $b = y$ です。

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y) (\frac{5}{2} - y)}$

ステップ 3.2.3.2.4.5

$y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + y \cdot \frac{2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

ステップ 3.2.3.2.4.6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.4.6.1

$y$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \pm \sqrt{(\frac{5}{2} + \frac{y \cdot 2}{2}) (\frac{5}{2} - y)}$

ステップ 3.2.3.2.4.6.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + y \cdot 2}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

ステップ 3.2.3.2.4.7

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y)}$

ステップ 3.2.3.2.4.8

$- y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} - y \cdot \frac{2}{2})}$

ステップ 3.2.3.2.4.9

$- y$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} (\frac{5}{2} + \frac{- y \cdot 2}{2})}$

ステップ 3.2.3.2.4.10

公分母の分子をまとめます。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - y \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.2.3.2.4.11

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \pm \sqrt{\frac{5 + 2 y}{2} \cdot \frac{5 - 2 y}{2}}$

ステップ 3.2.3.2.4.12

$\frac{5 + 2 y}{2}$ に $\frac{5 - 2 y}{2}$ をかけます。

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2.3.2.4.13

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \pm \sqrt{\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}}$

ステップ 3.2.3.2.4.14

$\frac{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.4.14.1

$(5 + 2 y) (5 - 2 y)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{4}}$

ステップ 3.2.3.2.4.14.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 3.2.3.2.4.14.3

分数 $\frac{1^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((5 + 2 y) (5 - 2 y))}$

ステップ 3.2.3.2.4.15

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$

ステップ 3.2.3.2.4.16

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

ステップ 3.2.3.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{(5 + 2 y) (5 - 2 y)}}{2}$

ステップ 3.2.3.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。