微分積分例

$y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$

ステップ 1

Set each solution of $y^{3} + x y - y$ as a function of $x$ .

$y = 8 x^{4} \to f (x) = 8 x^{4}$

ステップ 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{3} + x y - y = 8 x^{4}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 2.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{3} + x y - y) = \frac{d}{d x} (8 x^{4})$

ステップ 2.2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $y^{3} + x y - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 y^{2} y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 y^{2} y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.3.4

$y$ に $1$ をかけます。

$3 y^{2} y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 2.2.4

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$3 y^{2} y' + x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$3 y^{2} y' + x y' + y - y'$

ステップ 2.3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 2.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{4}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (4 x^{3})$

ステップ 2.3.3

$4$ に $8$ をかけます。

$32 x^{3}$

ステップ 2.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$3 y^{2} y' + x y' + y - y' = 32 x^{3}$

ステップ 2.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$3 y^{2} y' + x y' - y' = 32 x^{3} - y$

ステップ 2.5.2

$y'$ を $3 y^{2} y' + x y' - y'$ で因数分解します。

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ステップ 2.5.2.1

$y'$ を $3 y^{2} y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2}) + x (y') - y' = 32 x^{3} - y$

ステップ 2.5.2.2

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2}) + y' (x) - y' = 32 x^{3} - y$

ステップ 2.5.2.3

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2}) + y' (x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

ステップ 2.5.2.4

$y'$ を $y' (3 y^{2}) + y' (x)$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1 = 32 x^{3} - y$

ステップ 2.5.2.5

$y'$ を $y' (3 y^{2} + x) + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$

ステップ 2.5.3

$y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ の各項を $3 y^{2} + x - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$y' (3 y^{2} + x - 1) = 32 x^{3} - y$ の各項を $3 y^{2} + x - 1$ で割ります。

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

ステップ 2.5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.2.1

$3 y^{2} + x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (3 y^{2} + x - 1)}{3 y^{2} + x - 1} = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

ステップ 2.5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{32 x^{3}}{3 y^{2} + x - 1} + \frac{- y}{3 y^{2} + x - 1}$

ステップ 2.5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

ステップ 2.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{32 x^{3} - y}{3 y^{2} + x - 1} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

分子を0に等しくします。

$32 x^{3} - y = 0$

ステップ 3.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $y$ を足します。

$32 x^{3} = y$

ステップ 3.2.2

$32 x^{3} = y$ の各項を $32$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$32 x^{3} = y$ の各項を $32$ で割ります。

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$32$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{32 x^{3}}{32} = \frac{y}{32}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{y}{32}$

ステップ 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{y}{32}}$

ステップ 3.2.4

$\sqrt[3]{\frac{y}{32}}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\frac{y}{32}$ を ${(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.1.1

$y$ から完全累乗 $1^{3}$ を因数分解します。

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{32}}$

ステップ 3.2.4.1.2

$32$ から完全累乗 $2^{3}$ を因数分解します。

$x = \sqrt[3]{\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}}$

ステップ 3.2.4.1.3

分数 $\frac{1^{3} y}{2^{3} \cdot 4}$ を並べ替えます。

$x = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} \frac{y}{4}}$

ステップ 3.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{y}{4}}$

ステップ 3.2.4.3

$\sqrt[3]{\frac{y}{4}}$ を $\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ に書き換えます。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$

ステップ 3.2.4.4

$\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{1}{2} (\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

ステップ 3.2.4.5

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.4.5.1

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.2.4.5.1.1

$\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{4}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.2.4.5.1.2

$\sqrt[3]{4}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

ステップ 3.2.4.5.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.2.4.5.1.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

ステップ 3.2.4.5.1.5

${\sqrt[3]{4}}^{3}$ を $4$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.5.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{4}$ を $4^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.2.4.5.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.2.4.5.1.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.2.4.5.1.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.5.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.2.4.5.1.5.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

ステップ 3.2.4.5.1.5.5

指数を求めます。

$x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

ステップ 3.2.4.5.2

まとめる。

$x = \frac{1 (\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2})}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.2.4.5.3

掛け算します。

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ステップ 3.2.4.5.3.1

$\sqrt[3]{y}$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.2.4.5.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{8}$

ステップ 3.2.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.4.6.1

${\sqrt[3]{4}}^{2}$ を $\sqrt[3]{4^{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{4^{2}}}{8}$

ステップ 3.2.4.6.2

$4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{16}}{8}$

ステップ 3.2.4.6.3

$16$ を $2^{3} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 3.2.4.6.3.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{8 (2)}}{8}$

ステップ 3.2.4.6.3.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{8}$

ステップ 3.2.4.6.4

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{\sqrt[3]{y} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{8}$

ステップ 3.2.4.6.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{8}$

ステップ 3.2.4.7

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.2.4.7.1

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.7.1.1

$2$ を $2 \sqrt[3]{y \cdot 2}$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{y \cdot 2})}{8}$

ステップ 3.2.4.7.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.7.1.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.2.4.7.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \sqrt[3]{y \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.2.4.7.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$

ステップ 3.2.4.7.2

$\frac{\sqrt[3]{y \cdot 2}}{4}$ の因数を並べ替えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$

ステップ 4

Solve the function $f (x) = 8 x^{4}$ at $x = \frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ .

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4})}^{4}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{2 y}}^{4}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

${\sqrt[3]{2 y}}^{4}$ を $\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{4}}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.2.2

積の法則を $2 y$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{4} y^{4}}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.2.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{16 y^{4}}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.2.4

$16 y^{4}$ を ${(2 y)}^{3} \cdot (2 y)$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.2.4.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{8 (2) y^{4}}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.2.4.2

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{4})}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.2.4.3

$y^{3}$ を因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 (y^{3} y))}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.2.4.4

$2$ を移動させます。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{2^{3} y^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.2.4.5

$2^{3} y^{3}$ を ${(2 y)}^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.2.4.6

括弧を付けます。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{\sqrt[3]{{(2 y)}^{3} \cdot (2 y)}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{4^{4}})$

ステップ 4.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.2.3.1

$4$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{256})$

ステップ 4.2.3.2

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.2.1

$8$ を $256$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 (32)})$

ステップ 4.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = 8 (\frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{8 \cdot 32})$

ステップ 4.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 y \sqrt[3]{2 y}}{32}$

ステップ 4.2.3.3

$2$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.1

$2$ を $2 y \sqrt[3]{2 y}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{32}$

ステップ 4.2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.3.2.1

$2$ を $32$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

ステップ 4.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{2 (y \sqrt[3]{2 y})}{2 \cdot 16}$

ステップ 4.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 y}}{4}) = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$ です。

$\frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

ステップ 5

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

$y = \frac{y \sqrt[3]{2 y}}{16}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例