微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 1.1.3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

ステップ 1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

ステップ 1.1.4.2.3

$x$ と $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ です。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 2.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{1}{x^{2} + 1}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{{(0)}^{2} + 1}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{0 + 1}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{1}$

ステップ 4.1.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$1$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, 1)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例