微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x^{3}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.4.3

$2$ に $24$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (32)$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$32$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $32$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x + 0$

ステップ 1.1.5.2

$12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ です。

$12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$12 x$ を $12 x^{3} + 48 x^{2} + 48 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$12 x$ を $12 x^{3}$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) + 48 x^{2} + 48 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$12 x$ を $48 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) + 12 x (4 x) + 48 x = 0$

ステップ 2.2.1.3

$12 x$ を $48 x$ で因数分解します。

$12 x (x^{2}) + 12 x (4 x) + 12 x (4) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$12 x$ を $12 x (x^{2}) + 12 x (4 x)$ で因数分解します。

$12 x (x^{2} + 4 x) + 12 x (4) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$12 x$ を $12 x (x^{2} + 4 x) + 12 x (4)$ で因数分解します。

$12 x (x^{2} + 4 x + 4) = 0$

ステップ 2.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$12 x (x^{2} + 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.2.2.3

多項式を書き換えます。

$12 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$12 x {(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.6

最終解は $12 x {(x + 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{4} + 16 x^{3} + 24 x^{2} + 32$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 {(0)}^{4} + 16 {(0)}^{3} + 24 {(0)}^{2} + 32$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 + 16 {(0)}^{3} + 24 {(0)}^{2} + 32$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$0 + 16 {(0)}^{3} + 24 {(0)}^{2} + 32$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 16 \cdot 0 + 24 {(0)}^{2} + 32$

ステップ 4.1.2.1.4

$16$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 24 {(0)}^{2} + 32$

ステップ 4.1.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 + 24 \cdot 0 + 32$

ステップ 4.1.2.1.6

$24$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 + 32$

ステップ 4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 + 32$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 32$

ステップ 4.1.2.2.3

$0$ と $32$ をたし算します。

$32$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

$3 {(- 2)}^{4} + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$3 \cdot 16 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 4.2.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$48 + 16 {(- 2)}^{3} + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$48 + 16 \cdot - 8 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 4.2.2.1.4

$16$ に $- 8$ をかけます。

$48 - 128 + 24 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 4.2.2.1.5

$- 2$ を $2$ 乗します。

$48 - 128 + 24 \cdot 4 + 32$

ステップ 4.2.2.1.6

$24$ に $4$ をかけます。

$48 - 128 + 96 + 32$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$48$ から $128$ を引きます。

$- 80 + 96 + 32$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 80$ と $96$ をたし算します。

$16 + 32$

ステップ 4.2.2.2.3

$16$ と $32$ をたし算します。

$48$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 32), (- 2, 48)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例