微分積分例

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

ステップ 1.1.2.3

$5$ に $3$ をかけます。

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x^{3}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 10$ をかけます。

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [15 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$15$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ です。

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

ステップ 2.2

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$15$ を $15 u^{2} - 30 u + 15$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1

$15$ を $15 u^{2}$ で因数分解します。

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

ステップ 2.3.1.2

$15$ を $- 30 u$ で因数分解します。

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

ステップ 2.3.1.3

$15$ を $15$ で因数分解します。

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

ステップ 2.3.1.4

$15$ を $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ で因数分解します。

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

ステップ 2.3.1.5

$15$ を $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ で因数分解します。

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

ステップ 2.3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.3.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

ステップ 2.3.2.3

多項式を書き換えます。

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.3.2.4

$a = u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.4

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$ の各項を $15$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.1

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$ の各項を $15$ で割ります。

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

ステップ 2.4.2.1.2

${(u - 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

ステップ 2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

$0$ を $15$ で割ります。

${(u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 2.5

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 2.6

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 2.7

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.8

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.8.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.8.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.8.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.8.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.8.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

ステップ 4.1.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

ステップ 4.1.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 10$ に $1$ をかけます。

$3 - 10 + 15 (1)$

ステップ 4.1.2.1.5

$15$ に $1$ をかけます。

$3 - 10 + 15$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$3$ から $10$ を引きます。

$- 7 + 15$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 7$ と $15$ をたし算します。

$8$

ステップ 4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ を $5$ 乗します。

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

ステップ 4.2.2.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

ステップ 4.2.2.1.5

$15$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 + 10 - 15$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 3$ と $10$ をたし算します。

$7 - 15$

ステップ 4.2.2.2.2

$7$ から $15$ を引きます。

$- 8$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, 8), (- 1, - 8)$

ステップ 5

微分積分 例

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