微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} + 2 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $2 x^{3} + x^{2} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + 2$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} + 2 x + 2$ です。

$6 x^{2} + 2 x + 2$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} + 2 x + 2 = 0$

ステップ 2.2

$2$ を $6 x^{2} + 2 x + 2$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$2$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 = 0$

ステップ 2.2.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 = 0$

ステップ 2.2.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 (3 x^{2}) + 2 (x) + 2 (1) = 0$

ステップ 2.2.4

$2$ を $2 (3 x^{2}) + 2 (x)$ で因数分解します。

$2 (3 x^{2} + x) + 2 (1) = 0$

ステップ 2.2.5

$2$ を $2 (3 x^{2} + x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$

ステップ 2.3

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2 (3 x^{2} + x + 1) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{2} + x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$3 x^{2} + x + 1$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} + x + 1 = \frac{0}{2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$3 x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 2.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5

$a = 3$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.3

$1$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.4

$- 11$ を $- 1 (11)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (11)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

ステップ 2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.2.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.3

$1$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.4

$- 11$ を $- 1 (11)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.5

$\sqrt{- 1 (11)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

ステップ 2.7.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{6}$

ステップ 2.7.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{6}$

ステップ 2.7.5

$- 1$ を $i \sqrt{11}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{6}$

ステップ 2.7.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{6}$

ステップ 2.7.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

ステップ 2.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.8.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.8.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.2.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.3

$1$ から $12$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.4

$- 11$ を $- 1 (11)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.5

$\sqrt{- 1 (11)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

ステップ 2.8.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{6}$

ステップ 2.8.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{6}$

ステップ 2.8.5

$- 1$ を $- i \sqrt{11}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{6}$

ステップ 2.8.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{6}$

ステップ 2.8.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

ステップ 2.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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