微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{3 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{3}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sin^{2} (4 x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (4 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (4 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (4 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (4 x)$ とします。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (4 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $4 x$ とします。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (4 x) \cos (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.7

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \sin (4 x) \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.8

$8 \sin (4 x) \cos (4 x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{8 \cos (4 x) \sin (4 x)}{1}$

ステップ 2.4

$8 \cos (4 x) \sin (4 x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} 8 \cos (4 x) \sin (4 x)$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \sin (4 x)$

ステップ 3.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{3} \cdot 8 lim_{x \to 0} \cos (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

ステップ 3.3

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (lim_{x \to 0} 4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

ステップ 3.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (4 x)$

ステップ 3.5

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 4 x)$

ステップ 3.6

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 lim_{x \to 0} x)$

ステップ 4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 8 \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{3} \cos (4 \cdot 0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

ステップ 5.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{8}{3} \cos (0) \cdot \sin (4 \cdot 0)$

ステップ 5.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{8}{3} \cdot 1 \cdot \sin (4 \cdot 0)$

ステップ 5.4

$\frac{8}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{3} \cdot \sin (4 \cdot 0)$

ステップ 5.5

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{8}{3} \cdot \sin (0)$

ステップ 5.6

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{8}{3} \cdot 0$

ステップ 5.7

$\frac{8}{3}$ に $0$ をかけます。

$0$

微分積分 例

微分積分例