微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)}$

ステップ 1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

ステップ 1.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

ステップ 1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 1.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\tan (0)}$

ステップ 1.1.3.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

ステップ 1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

ステップ 1.3.3

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

ステップ 2

極限を求めます。

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ステップ 2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.2

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

ステップ 2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (x)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

ステップ 2.4

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sec^{2} (0)}$

ステップ 4

答えを簡約します。

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ステップ 4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$

ステップ 4.2

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$ を ${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$

ステップ 4.3

正弦と余弦に関して $\sec (0)$ を書き換えます。

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}})}^{2}$

ステップ 4.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (0)}$ で割ります。

${(1 \cos (0))}^{2}$

ステップ 4.5

$\cos (0)$ に $1$ をかけます。

$\cos^{2} (0)$

ステップ 4.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1^{2}$

ステップ 4.7

1のすべての数の累乗は1です。

$1$

微分積分 例

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