微分積分例

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4}{x - 4}$

ステップ 1

項をまとめます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 4}{x - 4}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{4}{x - 4}$

ステップ 1.2

$- \frac{4}{x - 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$

ステップ 1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(\sqrt{x} - 2) (x - 4)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ に $\frac{x - 4}{x - 4}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(\sqrt{x} - 2) (x - 4)} - \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$

ステップ 1.3.2

$\frac{4}{x - 4}$ に $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(\sqrt{x} - 2) (x - 4)} - \frac{4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 1.3.3

$(\sqrt{x} - 2) (x - 4)$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 1.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - lim_{x \to 4} 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.4

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.6

$x$ が $4$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.7

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.7.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.8

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 - 4 - 4 (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.8.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.8.1.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 - 4 - 4 (\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.8.1.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 - 4 - 4 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.8.1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 - 4 - 4 (2 - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.8.1.3

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{4 - 4 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.8.1.4

$- 4$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 - 4 + 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.8.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.2.8.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

ステップ 2.1.3.3

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

ステップ 2.1.3.4

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2)}$

ステップ 2.1.3.5

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2)}$

ステップ 2.1.3.6

$x$ が $4$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}$

ステップ 2.1.3.7

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 2.1.3.7.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(4 - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}$

ステップ 2.1.3.7.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{(4 - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

ステップ 2.1.3.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{0}{(4 - 4) \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

ステップ 2.1.3.8.2

$4$ から $4$ を引きます。

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

ステップ 2.1.3.8.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.8.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2)}$

ステップ 2.1.3.8.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{0}{0 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}$

ステップ 2.1.3.8.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{0}{0 \cdot (2 - 2)}$

ステップ 2.1.3.8.4

$2$ から $2$ を引きます。

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

ステップ 2.1.3.8.5

$0$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.8.6

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.9

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5

$\frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 (x^{\frac{1}{2}} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 (x^{\frac{1}{2}} - 2)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.3

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.5

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.8

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.5.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.10

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.11

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.13

$- 4$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.15

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.16

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.5.16.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.16.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.16.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.5.17

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

ステップ 2.3.7

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (x^{\frac{1}{2}} - 2)]}$

ステップ 2.3.8

$f (x) = x - 4$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2] + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.9

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.10

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.11

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.12

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.13

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.14.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.14.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.15

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.16

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.18

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.19

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

ステップ 2.3.20

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

ステップ 2.3.21

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

ステップ 2.3.22

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + 0)}$

ステップ 2.3.23

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 1}$

ステップ 2.3.24

$x^{\frac{1}{2}} - 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.25.1

分配則を当てはめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.25.2.1

$x$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.25.2.3.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.25.2.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.5

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.25.2.6.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.6.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.6.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.8

$x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.9

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.10

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.11

$2$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

ステップ 2.3.25.2.12

$x^{\frac{1}{2}}$ と $2 x^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

ステップ 2.3.25.3

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.4

分数指数を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.4.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 2.4.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 2.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.2

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.3

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.4

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.5

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.6

$\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.7

$- \frac{2}{\sqrt{x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 2.5.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2 \sqrt{x}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.8.1

$\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 2.5.8.2

$\frac{2}{\sqrt{x}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{x} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.8.3

$\sqrt{x} \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 2.5.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

極限の独立変数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2

因数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 3.1.2.3

$\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$ に $\frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$ をかけます。

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) (2 \sqrt{x})}{\sqrt{x} ((3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4)}$

ステップ 3.1.3

$\sqrt{x}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) (2 \sqrt{x})}{\sqrt{x} ((3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4)}$

ステップ 3.1.3.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) \cdot (2)}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 3.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 4.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$2 \frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 4.1.2.1.3

$x$ が $4$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 4.1.2.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 4.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 4.1.2.3.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 4.1.2.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 4.1.2.3.2

$2$ から $2$ を引きます。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

ステップ 4.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 4.1.3.2

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 4.1.3.3

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{0}{(lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 4.1.3.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{0}{(3 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 4.1.3.5

根号の下に極限を移動させます。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 4.1.3.6

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 4.1.3.7

根号の下に極限を移動させます。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 4}$

ステップ 4.1.3.8

$x$ が $4$ に近づくと定数である $4$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.9

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.9.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{4} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.9.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{4} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.10

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.10.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.10.1.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.10.1.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 \frac{0}{(3 \cdot 2 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.10.1.1.3

$3$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{0}{(6 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.10.1.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$2 \frac{0}{(6 - 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.10.1.2

$6$ から $4$ を引きます。

$2 \frac{0}{2 \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.10.1.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$2 \frac{0}{2 \cdot \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.10.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2 \frac{0}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.10.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

ステップ 4.1.3.10.1.6

$- 1$ に $4$ をかけます。

$2 \frac{0}{4 - 4}$

ステップ 4.1.3.10.2

$4$ から $4$ を引きます。

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.1.3.10.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.1.3.11

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $\sqrt{x} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.3.5

公分母の分子をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.3.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.5.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.5.2.2

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

ステップ 4.3.6

総和則では、 $(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7

$\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.3

$f (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 4$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} - 4] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} - 4] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.5

総和則では、 $3 x^{\frac{1}{2}} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.7

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.8

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.9

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.10

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.11

公分母の分子をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.12.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.12.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.13

分数の前に負数を移動させます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.14

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.15

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.16

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.17

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.18

公分母の分子をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.19

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.19.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.19.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{- 1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.20

分数の前に負数を移動させます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{- \frac{1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.21

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.22

$3$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.23

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.24

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.25

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.26

$3$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.27

共通因数を約分します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.28

式を書き換えます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.29

$(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.30

$(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.31

公分母の分子をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.32

$2$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.33

共通因数を約分します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.7.34

式を書き換えます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

ステップ 4.3.8

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.1

分配則を当てはめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.2.1

$3$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.3

$3$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.4

共通因数を約分します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.5

$3$ を $1$ で割ります。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.6

$- 4$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.8

$3$ と $3$ をたし算します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{6 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.9

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 3 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.10

$2$ を $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.11

$2$ を $2 (3) + 2 (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})$ で因数分解します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.9.2.12.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (1)} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.12.2

共通因数を約分します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 1} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.12.3

式を書き換えます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{1} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.12.4

$3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ を $1$ で割ります。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

ステップ 4.3.9.2.13

$3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 4.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 4.5

分数指数を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

ステップ 4.5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 4.6

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ に $\frac{1}{3 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$ をかけます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} (3 - \frac{2}{\sqrt{x}})}$

ステップ 4.7

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ を掛けます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} (\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})}$

ステップ 4.7.2

公分母の分子をまとめます。

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 5.2

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 5.3

$x$ が $4$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 5.4

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 4} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 5.5

根号の下に極限を移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot lim_{x \to 4} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

ステップ 5.6

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

ステップ 5.7

$x$ が $4$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

ステップ 5.8

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

ステップ 5.9

根号の下に極限を移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

ステップ 5.10

$x$ が $4$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

ステップ 5.11

根号の下に極限を移動させます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

ステップ 6

すべての $x$ に $4$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

ステップ 6.2

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

ステップ 6.3

$x$ を $4$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

ステップ 7.1.2

式を書き換えます。

$1 \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

ステップ 7.2

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

ステップ 7.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

ステップ 7.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

ステップ 7.3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{6 - 2}{\sqrt{4}}}$

ステップ 7.3.5

$6$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{4}}}$

ステップ 7.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{2^{2}}}}$

ステップ 7.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{2}}$

ステップ 7.5

$\sqrt{4}$ と $\frac{4}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4} \cdot 4}{2}}$

ステップ 7.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2^{2}} \cdot 4}{2}}$

ステップ 7.6.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 4}{2}}$

ステップ 7.7

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{8}{2}}$

ステップ 7.8

$8$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{4}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{4}$

10進法形式：

$0.25$

微分積分 例

微分積分例