微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 7$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.4.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

ステップ 1.5.2

$6 x^{2} + 6 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2} + 6 x - 12$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $6 x^{2} + 6 x - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

ステップ 2.4.2

$12 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x + 6$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.4.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 7]$

ステップ 4.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.5.1

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

ステップ 4.1.5.2

$6 x^{2} + 6 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} + 6 x - 12$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 12$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$6$ を $6 x^{2} + 6 x - 12$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1.1

$6$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$6$ を $- 12$ で因数分解します。

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$6$ を $6 (x^{2}) + 6 x$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

ステップ 5.2.1.5

$6$ を $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ で因数分解します。

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

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ステップ 5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 5.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 5.6

最終解は $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 1, - 2$

ステップ 8

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 (1) + 6$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$12$ に $1$ をかけます。

$12 + 6$

ステップ 9.2

$12$ と $6$ をたし算します。

$18$

ステップ 10

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 11

$x = 1$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 - 7$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 - 7$

ステップ 11.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 - 7$

ステップ 11.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 - 7$

ステップ 11.2.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1 - 7$

ステップ 11.2.1.5

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 2 + 3 - 12 - 7$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$2$ と $3$ をたし算します。

$f (1) = 5 - 12 - 7$

ステップ 11.2.2.2

$5$ から $12$ を引きます。

$f (1) = - 7 - 7$

ステップ 11.2.2.3

$- 7$ から $7$ を引きます。

$f (1) = - 14$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 14$ です。

$y = - 14$

ステップ 12

$x = - 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$12 (- 2) + 6$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$12$ に $- 2$ をかけます。

$- 24 + 6$

ステップ 13.2

$- 24$ と $6$ をたし算します。

$- 18$

ステップ 14

$x = - 2$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 2$ は極大値です

ステップ 15

$x = - 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 7$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 7$

ステップ 15.2.1.2

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 - 7$

ステップ 15.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 - 7$

ステップ 15.2.1.4

$3$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2 - 7$

ステップ 15.2.1.5

$- 12$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 - 7$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$- 16$ と $12$ をたし算します。

$f (- 2) = - 4 + 24 - 7$

ステップ 15.2.2.2

$- 4$ と $24$ をたし算します。

$f (- 2) = 20 - 7$

ステップ 15.2.2.3

$20$ から $7$ を引きます。

$f (- 2) = 13$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $13$ です。

$y = 13$

ステップ 16

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 7$ の極値です。

$(1, - 14)$ は極小値です

$(- 2, 13)$ は極大値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例