微分積分例

$f (x) = 5 - x - x^{2}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $5 - x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 - 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 1 - (2 x)$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 1 - 2 x$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1 - 2 x$

ステップ 1.4.2

項を並べ替えます。

$- 2 x - 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 2 + 0$

ステップ 2.3.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 2 x - 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $5 - x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 4.1.1.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 4.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 0 - 1 - \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 4.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 0 - 1 - (2 x)$

ステップ 4.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 0 - 1 - 2 x$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$0$ から $1$ を引きます。

$f' (x) = - 1 - 2 x$

ステップ 4.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x - 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x - 1$ です。

$- 2 x - 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x - 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- 2 x = 1$

ステップ 5.3

$- 2 x = 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$- 2 x = 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{- 2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 8

$x = - \frac{1}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 2$

ステップ 9

$x = - \frac{1}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{1}{2}$ は極大値です

ステップ 10

$x = - \frac{1}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 - (- \frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$- (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + 1 (\frac{1}{2}) - {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 10.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - {(- \frac{1}{2})}^{2}$

ステップ 10.2.1.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.2.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

ステップ 10.2.1.2.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 10.2.1.3

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.3.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{1^{2}}{2^{2}})$

ステップ 10.2.1.3.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.3.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 10.2.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

ステップ 10.2.1.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

ステップ 10.2.1.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

ステップ 10.2.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 10.2.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = 5 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 10.2.2

公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$5$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 10.2.2.2

$\frac{5}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 10.2.2.3

$\frac{5}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 10.2.2.4

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

ステップ 10.2.2.5

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

ステップ 10.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

ステップ 10.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{5 \cdot 4 + 2 - 1}{4}$

ステップ 10.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.4.1

$5$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{20 + 2 - 1}{4}$

ステップ 10.2.4.2

$20$ と $2$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{22 - 1}{4}$

ステップ 10.2.4.3

$22$ から $1$ を引きます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{21}{4}$

ステップ 10.2.5

最終的な答えは $\frac{21}{4}$ です。

$y = \frac{21}{4}$

ステップ 11

$f (x) = 5 - x - x^{2}$ の極値です。

$(- \frac{1}{2}, \frac{21}{4})$ は極大値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例