微分積分例

$f (x) = 5 x^{2} + 4 x - 6$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $5 x^{2} + 4 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$10 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$10 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$10 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$10 x + 4 + 0$

ステップ 1.4.2

$10 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$10 x + 4$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $10 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [10 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.2.3

$10$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 10 + \frac{d}{d x} (4)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 10 + 0$

ステップ 2.3.2

$10$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 10$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$10 x + 4 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $5 x^{2} + 4 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 10 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 10 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 10 x + 4 + \frac{d}{d x} (- 6)$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 4.1.4.1

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 10 x + 4 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$10 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 10 x + 4$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $10 x + 4$ です。

$10 x + 4$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $10 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$10 x + 4 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$10 x = - 4$

ステップ 5.3

$10 x = - 4$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$10 x = - 4$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 4}{10}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{10}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$- 4$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (- 2)}{10}$

ステップ 5.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

ステップ 5.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

ステップ 5.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 2}{5}$

ステップ 5.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{5}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{2}{5}$

ステップ 8

$x = - \frac{2}{5}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$10$

ステップ 9

$x = - \frac{2}{5}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{2}{5}$ は極小値です

ステップ 10

$x = - \frac{2}{5}$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $- \frac{2}{5}$ で置換えます。

$f (- \frac{2}{5}) = 5 {(- \frac{2}{5})}^{2} + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 10.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{2}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{5}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2.1.1.2

積の法則を $\frac{2}{5}$ に当てはめます。

$f (- \frac{2}{5}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{5^{2}})) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (1 (\frac{2^{2}}{5^{2}})) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2.1.3

$\frac{2^{2}}{5^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{2^{2}}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5^{2}}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2.1.5

$5$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{25}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2.1.6

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1.6.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 (5)}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{2}{5}) = 5 (\frac{4}{5 \cdot 5}) + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + 4 (- \frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2.1.7

$4 (- \frac{2}{5})$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1.7.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - 4 (\frac{2}{5}) - 6$

ステップ 10.2.1.7.2

$- 4$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} - 6$

ステップ 10.2.1.7.3

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + \frac{- 8}{5} - 6$

ステップ 10.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} - \frac{8}{5} - 6$

ステップ 10.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 10.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 + \frac{4 - 8}{5}$

ステップ 10.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 + \frac{- 4}{5}$

ステップ 10.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 - \frac{4}{5}$

ステップ 10.2.3

$- 6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$f (- \frac{2}{5}) = - 6 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

ステップ 10.2.4

$- 6$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 6 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

ステップ 10.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 6 \cdot 5 - 4}{5}$

ステップ 10.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.6.1

$- 6$ に $5$ をかけます。

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 30 - 4}{5}$

ステップ 10.2.6.2

$- 30$ から $4$ を引きます。

$f (- \frac{2}{5}) = \frac{- 34}{5}$

ステップ 10.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{2}{5}) = - \frac{34}{5}$

ステップ 10.2.8

最終的な答えは $- \frac{34}{5}$ です。

$y = - \frac{34}{5}$

ステップ 11

$f (x) = 5 x^{2} + 4 x - 6$ の極値です。

$(- \frac{2}{5}, - \frac{34}{5})$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例