微分積分例

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x + 3$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2.4.2

$x - 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 3 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{x - 3 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

式を簡約します。

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ステップ 1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 3 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 3 - (x + 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.3.2.1

$x - 3 - x - 1 \cdot 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.1.2

$0$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.2.3

$- 3$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 6}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ を ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

ステップ 2.1.2.2

${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

ステップ 2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

ステップ 2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 6 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = 12 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

ステップ 2.3.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 2.3.5.2

$12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 12 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

ステップ 2.4.2

$12$ と $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{12}{{(x - 3)}^{3}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例