微分積分例

$f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 8 \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 \ln (x)$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

ステップ 1.2.3

$- 8$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 x + \frac{- 8}{x}$

ステップ 1.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$2 x - \frac{8}{x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x - \frac{8}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{8}{x}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 2 - 8 \frac{d}{d x} x^{- 1}$

ステップ 2.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 - 8 (- x^{- 2})$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + 8 x^{- 2}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 + 8 (\frac{1}{x^{2}})$

ステップ 2.4.2

$8$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 2 + \frac{8}{x^{2}}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{8}{x^{2}} + 2$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 8 \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 \ln (x)$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 4.1.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 x - 8 \frac{1}{x}$

ステップ 4.1.2.3

$- 8$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$2 x + \frac{- 8}{x}$

ステップ 4.1.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 2 x - \frac{8}{x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - \frac{8}{x}$ です。

$2 x - \frac{8}{x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - \frac{8}{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - \frac{8}{x} = 0$

ステップ 5.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x, 1$

ステップ 5.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 5.3

$2 x - \frac{8}{x} = 0$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.3.1

$2 x - \frac{8}{x} = 0$ の各項に $x$ を掛けます。

$2 x \cdot x - \frac{8}{x} x = 0 x$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$2 (x \cdot x) - \frac{8}{x} x = 0 x$

ステップ 5.3.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - \frac{8}{x} x = 0 x$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1

$- \frac{8}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$2 x^{2} + \frac{- 8}{x} x = 0 x$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$2 x^{2} - 8 = 0 x$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$0$ に $x$ をかけます。

$2 x^{2} - 8 = 0$

ステップ 5.4

方程式を解きます。

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ステップ 5.4.1

方程式の両辺に $8$ を足します。

$2 x^{2} = 8$

ステップ 5.4.2

$2 x^{2} = 8$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$2 x^{2} = 8$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

ステップ 5.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{8}{2}$

ステップ 5.4.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{8}{2}$

ステップ 5.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.3.1

$8$ を $2$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 5.4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 5.4.4

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 5.4.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 5.4.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 5.4.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.4.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 5.4.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 5.4.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{8}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 2$

ステップ 8

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{8}{{(2)}^{2}} + 2$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{8}{4} + 2$

ステップ 9.1.2

$8$ を $4$ で割ります。

$2 + 2$

ステップ 9.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$4$

ステップ 10

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 11

$x = 2$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{2} - 8 \ln (2)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 4 - 8 \ln (2)$

ステップ 11.2.1.2

対数の中の $8$ を移動させて $- 8 \ln (2)$ を簡約します。

$f (2) = 4 - \ln (2^{8})$

ステップ 11.2.1.3

$2$ を $8$ 乗します。

$f (2) = 4 - \ln (256)$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $4 - \ln (256)$ です。

$y = 4 - \ln (256)$

ステップ 12

$f (x) = x^{2} - 8 \ln (x)$ の極値です。

$(2, 4 - \ln (256))$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例