微分積分例

$f (x) = x + \cos (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$1 - \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

ステップ 2.3

$0$ から $\cos (x)$ を引きます。

$f'' (x) = - \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$1 - \sin (x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \sin (x) = - 1$

ステップ 5

$- \sin (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- \sin (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x) = 1$

ステップ 6

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (1)$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 9

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 9.2

分数をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 9.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 10

方程式 $x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

ステップ 11

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 12.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$- 0$

ステップ 12.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 13

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 13.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

ステップ 13.2

一次導関数 $1 - \sin (x)$ の区間 $(- \infty, \frac{π}{2})$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 13.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

ステップ 13.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.2.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f' (0) = 1 - 0$

ステップ 13.2.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 1 + 0$

ステップ 13.2.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (0) = 1$

ステップ 13.2.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 13.3

一次導関数 $1 - \sin (x)$ の区間 $(\frac{π}{2}, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 13.3.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

ステップ 13.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.3.2.1.1

$\sin (4)$ の値を求めます。

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

ステップ 13.3.2.1.2

$- 1$ に $- 0.75680249$ をかけます。

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

ステップ 13.3.2.2

$1$ と $0.75680249$ をたし算します。

$f' (4) = 1.75680249$

ステップ 13.3.2.3

最終的な答えは $1.75680249$ です。

$1.75680249$

ステップ 13.4

$x = \frac{π}{2}$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 13.5

$f (x) = x + \cos (x)$ における極大値または極小値は求められません。

極大値または極小値はありません

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例