微分積分例

$f (x) = 8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$

ステップ 1

総和則では、 $8 e^{x} + 4 \ln (x^{3})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 e^{x}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$8 e^{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \ln (x^{3})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ です。

$8 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$

ステップ 3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$8 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 e^{x} + 4 (\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2}))$

ステップ 3.4

$3$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$8 e^{x} + 4 (\frac{3}{x^{3}} x^{2})$

ステップ 3.5

$\frac{3}{x^{3}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$8 e^{x} + 4 \frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

ステップ 3.6

$x^{2}$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

$x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

ステップ 3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.2.1

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

ステップ 3.6.2.2

共通因数を約分します。

$8 e^{x} + 4 \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

ステップ 3.6.2.3

式を書き換えます。

$8 e^{x} + 4 \frac{3}{x}$

ステップ 3.7

$4$ と $\frac{3}{x}$ をまとめます。

$8 e^{x} + \frac{4 \cdot 3}{x}$

ステップ 3.8

$4$ に $3$ をかけます。

$8 e^{x} + \frac{12}{x}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$\frac{12}{x} + 8 e^{x}$

微分積分 例

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