微分積分例

$f (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - 2 x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $1 - 2 x^{2}$ で置き換えます。

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

ステップ 1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ をたし算します。

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 1.2.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

ステップ 1.2.6

$2$ に $- 2$ をかけます。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$

ステップ 1.3.2

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{1 - 2 x^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x e^{1 - 2 x^{2}})$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (x \frac{d}{d x} (e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - 2 x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - 4 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $1 - 2 x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4

微分します。

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ステップ 2.4.1

総和則では、 $1 - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ をたし算します。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.6

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 1} (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.8.2

$- 4$ を $e^{1 - 2 x^{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 \cdot e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \cdot 1)$

ステップ 2.10

$e^{1 - 2 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}})$

ステップ 2.11

簡約します。

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ステップ 2.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}})) - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

ステップ 2.11.2

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{1 - 2 x^{2}} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

ステップ 2.11.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 16 e^{1 - 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

ステップ 2.11.4

$16 e^{1 - 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{1 - 2 x^{2}} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - 2 x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

ステップ 4.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

ステップ 4.1.1.3

$u$ のすべての発生を $1 - 2 x^{2}$ で置き換えます。

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $1 - 2 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ です。

$e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

ステップ 4.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

ステップ 4.1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ をたし算します。

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

ステップ 4.1.2.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 4.1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

ステップ 4.1.2.6

$2$ に $- 2$ をかけます。

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$

ステップ 4.1.3

簡約します。

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ステップ 4.1.3.1

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$ の因数を並べ替えます。

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$

ステップ 4.1.3.2

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$ です。

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

ステップ 5.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.4

$e^{1 - 2 x^{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.4.1

$e^{1 - 2 x^{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

ステップ 5.4.2

$x$ について $e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{1 - 2 x^{2}}) = \ln (0)$

ステップ 5.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.4.2.3

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.5

最終解は $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$16 {(0)}^{2} e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$16 \cdot 0 e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

ステップ 9.1.2

$16$ に $0$ をかけます。

$0 e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

ステップ 9.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 e^{1 - 2 \cdot 0} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

ステップ 9.1.3.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0 e^{1 + 0} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

ステップ 9.1.4

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 e^{1} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

ステップ 9.1.5

簡約します。

$0 e - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

ステップ 9.1.6

$0$ に $e$ をかけます。

$0 - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

ステップ 9.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.7.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 4 e^{1 - 2 \cdot 0}$

ステップ 9.1.7.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0 - 4 e^{1 + 0}$

ステップ 9.1.8

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 - 4 e^{1}$

ステップ 9.1.9

簡約します。

$0 - 4 e$

ステップ 9.2

$0$ から $4 e$ を引きます。

$- 4 e$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = e^{1 - 2 \cdot 0}$

ステップ 11.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = e^{1 + 0}$

ステップ 11.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = e$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $e$ です。

$y = e$

ステップ 12

$f (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$ の極値です。

$(0, e)$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例