微分積分例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 8.2

$x^{3}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 8.3

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 8.3.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 \int x^{- 3} d x + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- 3}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$x^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 10.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int \frac{3}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 11

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 12

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 12.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 12.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 12.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 12.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 13

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

簡約します。

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{1}{x^{2}} + 3 (2 x^{\frac{1}{2}}) + C$

ステップ 14.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 14.2.2

項を並べ替えます。

$\frac{3}{8} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{3}{\sqrt{x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{3}{8} x^{\frac{4}{3}} + \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例