微分積分例

$g (t) = \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

ステップ 1

関数 $G (t)$ は、微分係数 $g (t)$ の不定積分を求めることで求められます。

$G (t) = \int g (t) d t$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$G (t) = \int \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}} d t$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{6 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

ステップ 4

$t^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (6 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

ステップ 5

${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (6 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

ステップ 5.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (6 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

ステップ 5.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (6 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6

$(6 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\int (6 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6.6

公分母の分子をまとめます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6.7

$2$ から $1$ を引きます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6.9

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6.10

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

ステップ 6.11

公分母の分子をまとめます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

ステップ 6.12

分子を簡約します。

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ステップ 6.12.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

ステップ 6.12.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 6 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 8

$6$ は $t$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 9

べき乗則では、 $t^{- \frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $2 t^{\frac{1}{2}}$ です。

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 10

べき乗則では、 $t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ です。

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

ステップ 11

べき乗則では、 $t^{\frac{3}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ です。

$6 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 12.2

項を並べ替えます。

$12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

ステップ 13

答えは関数 $g (t) = \frac{6 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$ の不定積分です。

$G (t) =$ $12 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

微分積分 例

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