微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

ステップ 1

三角関数の公式を当てはめます。

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ステップ 1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

ステップ 1.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

ステップ 1.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

ステップ 2

$x$ が $0$ に近づく $\frac{\sin (x)}{x}$ の極限値は $1$ です。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

ステップ 2.4

極限を求めます。

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ステップ 2.4.1

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

ステップ 2.4.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

ステップ 2.5

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\cos (0)$

ステップ 2.6

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$1$

微分積分 例

微分積分例