微分積分例

$\log_{b} (216) = 3$

ステップ 1

対数の定義を利用して $\log_{b} (216) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$b^{3} = 216$

ステップ 2

$b$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $216$ を引きます。

$b^{3} - 216 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$216$ を $6^{3}$ に書き換えます。

$b^{3} - 6^{3} = 0$

ステップ 2.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = b$ であり、 $b = 6$ です。

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$6$ を $b$ の左に移動させます。

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3.2

$6$ を $2$ 乗します。

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

ステップ 2.4

$b - 6$ を $0$ に等しくし、 $b$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$b - 6$ が $0$ に等しいとします。

$b - 6 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$b = 6$

ステップ 2.5

$b^{2} + 6 b + 36$ を $0$ に等しくし、 $b$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$b^{2} + 6 b + 36$ が $0$ に等しいとします。

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

ステップ 2.5.2

$b$ について $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 6$ 、および $c = 36$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $b$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 36$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $36$ をかけます。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$36$ から $144$ を引きます。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 108$ を $- 1 (108)$ に書き換えます。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (108)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ に書き換えます。

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7

$108$ を $6^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.3.1.7.1

$36$ を $108$ で因数分解します。

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.9

$6$ を $i$ の左に移動させます。

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

ステップ 2.6

最終解は $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ を真にするすべての値です。

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

微分積分 例

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