微分積分例

$3^{2 x} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$3^{2 x}$ を ${(3^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(3^{x})}^{2} - 12 \cdot 3^{x} + 27 = 0$

ステップ 1.2

$u = 3^{x}$ とします。 $u$ を $3^{x}$ に代入します。

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 12 u + 27$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $27$ で、その和が $- 12$ です。

$- 9, - 3$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 9) (u - 3) = 0$

$(u - 9) (u - 3) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $3^{x}$ で置き換えます。

$(3^{x} - 9) (3^{x} - 3) = 0$

$(3^{x} - 9) (3^{x} - 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3^{x} - 9 = 0$

$3^{x} - 3 = 0$

ステップ 3

$3^{x} - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3^{x} - 9$ が $0$ に等しいとします。

$3^{x} - 9 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3^{x} - 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$3^{x} = 9$

ステップ 3.2.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{x} = 3^{2}$

ステップ 3.2.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 2$

$x = 2$

$x = 2$

ステップ 4

$3^{x} - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$3^{x} - 3$ が $0$ に等しいとします。

$3^{x} - 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $3^{x} - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$3^{x} = 3$

ステップ 4.2.2

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{x} = 3^{1}$

ステップ 4.2.3

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 1$

$x = 1$

$x = 1$

ステップ 5

最終解は $(3^{x} - 9) (3^{x} - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, 1$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$