微分積分例

$y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

ステップ 1

方程式を $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = y$ として書き換えます。

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = y$

ステップ 2

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

ステップ 3.1.1.2

式を書き換えます。

$e^{x} - e^{- x} = y \cdot 2$

ステップ 3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$e^{x} - e^{- x} = 2 y$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

ステップ 4.2

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$u - u^{- 1} = 2 y$

ステップ 4.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u - \frac{1}{u} = 2 y$

ステップ 4.4

$u$ について解きます。

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ステップ 4.4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 4.4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 4.4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 4.4.2

$u - \frac{1}{u} = 2 y$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.4.2.1

$u - \frac{1}{u} = 2 y$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 2 y u$

ステップ 4.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 2 y u$

ステップ 4.4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.2.1.2.1

$- \frac{1}{u}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 y u$

ステップ 4.4.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 2 y u$

ステップ 4.4.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$u^{2} - 1 = 2 y u$

ステップ 4.4.3

方程式を解きます。

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ステップ 4.4.3.1

方程式の両辺から $2 y u$ を引きます。

$u^{2} - 1 - 2 y u = 0$

ステップ 4.4.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.4.3.3

$a = 1$ 、 $b = - 2 y$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4

簡約します。

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ステップ 4.4.3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.3.4.1.1

積の法則を $- 2 y$ に当てはめます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.3

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.4.3.4.1.3.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.3.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 y^{2} + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.4

$4$ を $4 y^{2} + 4$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.3.4.1.4.1

$4$ を $4 y^{2}$ で因数分解します。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.4.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.4.3

$4$ を $4 (y^{2}) + 4 (1)$ で因数分解します。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.5

$4 (y^{2} + 1)$ を $2^{2} (y^{2} + 1^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.3.4.1.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (y^{2} + 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.5.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (y^{2} + 1^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.1.7

1のすべての数の累乗は1です。

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.4.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2}$

ステップ 4.4.3.4.3

$\frac{2 y \pm 2 \sqrt{y^{2} + 1}}{2}$ を簡約します。

$u = y \pm \sqrt{y^{2} + 1}$

ステップ 4.4.3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

$u = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

ステップ 4.5

$y + \sqrt{y^{2} + 1}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$y + \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$

ステップ 4.6

$y + \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 4.6.1

方程式を $e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + 1}$ として書き換えます。

$e^{x} = y + \sqrt{y^{2} + 1}$

ステップ 4.6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

ステップ 4.6.3

左辺を展開します。

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ステップ 4.6.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

ステップ 4.6.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

ステップ 4.6.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

ステップ 4.7

$y - \sqrt{y^{2} + 1}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$y - \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$

ステップ 4.8

$y - \sqrt{y^{2} + 1} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 4.8.1

方程式を $e^{x} = y - \sqrt{y^{2} + 1}$ として書き換えます。

$e^{x} = y - \sqrt{y^{2} + 1}$

ステップ 4.8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

ステップ 4.8.3

左辺を展開します。

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ステップ 4.8.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

ステップ 4.8.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

ステップ 4.8.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

ステップ 4.9

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y + \sqrt{y^{2} + 1})$

$x = \ln (y - \sqrt{y^{2} + 1})$

微分積分 例

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