微分積分例

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

ステップ 1

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}]$

ステップ 2

$\sin (2 x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}]$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \frac{1}{\cos (x)}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) \sec (x)]$

ステップ 4

$f (x) = \sin (2 x)$ および $g (x) = \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 5

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sin (2 x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 7.3

式を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cos (2 x) \cdot 2$

ステップ 7.3.2

$2$ を $\sec (x) \cos (2 x)$ の左に移動させます。

$\sin (2 x) \sec (x) \tan (x) + 2 \cdot (\sec (x) \cos (2 x))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

項を並べ替えます。

$\sec (x) \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $\sin (2 x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.4

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)} \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.4.2

$2 \sin (x)$ を $1$ で割ります。

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.5

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.6

$2 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.6.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)} \sin (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.6.2

$\frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (x) \cdot 2 \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.6.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.6.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

ステップ 8.2.7

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 8.2.8

$2 \cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.8.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\cos (x)} \cos (2 x)$

ステップ 8.2.8.2

$\frac{2}{\cos (x)}$ と $\cos (2 x)$ をまとめます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.3

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.2

分数を分解します。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.4

$2 (\sin (x))$ を $1$ で割ります。

$2 (\sin (x)) \tan (x) + \frac{2 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.5

分数を分解します。

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$

ステップ 8.3.6

$\frac{\cos (2 x)}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 8.3.7

$\cos (2 x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\frac{\cos (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 8.3.8

簡約します。

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ステップ 8.3.8.1

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 8.3.8.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$2 \sin (x) \tan (x) + \frac{2}{1} (\cos (2 x) \sec (x))$

ステップ 8.3.9

$2$ を $1$ で割ります。

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \cos (2 x) \sec (x)$

微分積分 例

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