微分積分例

$x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x^{- 2}$ を移動させます。

$x^{- 2} x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{- 2 + 2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1))$ を簡約します。

$\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5.2

$- 1$ を $\cos (\frac{1}{x})$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5.3

$- 1 \cos (\frac{1}{x})$ を $- \cos (\frac{1}{x})$ に書き換えます。

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) (2 x)$

ステップ 7

項を並べ替えます。

$2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$

微分積分 例

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