微分積分例

$\frac{a x + b}{c x + d}$

ステップ 1

$f (x) = a x + b$ および $g (x) = c x + d$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $a x + b$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ です。

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [a x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$a$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $a x$ の微分係数は $a \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 3.3

$a$ に $1$ をかけます。

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$b$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $b$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 4.2

$a$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 4.3

総和則では、 $c x + d$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ です。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 5

$\frac{d}{d x} [c x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

$c$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $c x$ の微分係数は $c \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 5.3

$c$ に $1$ をかけます。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 6

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 6.1

$d$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $d$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 6.2

$c$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 7.4

$c x a + d a - (a x) c - b c$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.4.1

$c x a$ と $- (a x) c$ について因数を並べ替えます。

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 7.4.2

$a c x$ から $a c x$ を引きます。

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 7.4.3

$d a$ と $0$ をたし算します。

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例