微分積分例

$\frac{x}{x^{2} - 9}$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2.4

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 2.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 9) \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 9 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 9 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

$- 9$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 9 - x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} - 9 - 1 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 9 - 1 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- x^{2} - 9}{{(x^{2} - 3^{2})}^{2}}$

ステップ 3.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{- x^{2} - 9}{{((x + 3) (x - 3))}^{2}}$

ステップ 3.3.3

積の法則を $(x + 3) (x - 3)$ に当てはめます。

$\frac{- x^{2} - 9}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) - 9}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.5

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{2}) - 1 (9)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (9)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} + 9)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.7

$- (x^{2} + 9)$ を $- 1 (x^{2} + 9)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} + 9)}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} + 9}{{(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例