微分積分例

$\frac{1 + c e^{x}}{1 - c e^{x}}$

ステップ 1

$f (c) = 1 + c e^{x}$ および $g (c) = 1 - c e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ は $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 + c e^{x}] - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $1 + c e^{x}$ の $c$ に関する積分は $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]$ です。

$\frac{(1 - c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.2

$1$ は $c$ について定数なので、 $c$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 3

$\frac{d}{d c} [c e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$e^{x}$ は $c$ に対して定数なので、 $c$ に対する $c e^{x}$ の微分係数は $e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ です。

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \frac{d}{d c} [c]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ は $n c^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \cdot 1) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 3.3

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x}) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ と $e^{x}$ をたし算します。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 4.2

総和則では、 $1 - c e^{x}$ の $c$ に関する積分は $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ です。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 4.3

$1$ は $c$ について定数なので、 $c$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 5

$\frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- e^{x}$ は $c$ に対して定数なので、 $c$ に対する $- c e^{x}$ の微分係数は $- e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ です。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \frac{d}{d c} [c])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ は $n c^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \cdot 1)}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 6

$0$ から $e^{x}$ を引きます。

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (c e^{x})) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{e^{x} - c (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x} - c e^{x + x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.2.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.4

$- 1 (- e^{x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + 1 e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.5

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.5.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c (e^{x} e^{x})) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x + x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.5.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{2 x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.6

$- c e^{2 x} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + 1 c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.1.6.2

$c$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.2

$e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.4.2.1

$- c e^{2 x}$ と $c e^{2 x}$ をたし算します。

$\frac{e^{x} + 0 + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.2.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x} + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4.3

$e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$\frac{2 e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.5

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$

ステップ 7.6

$\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 e^{x}}{{(- c e^{x} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例