微分積分例

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

ステップ 2

$t$ に関する $x$ の微分係数は $x'$ です。

$x'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

${(2 t + 1)}^{2}$ を $(2 t + 1) (2 t + 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 t + 1) (2 t + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$t$ を移動させます。

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

ステップ 3.3.1.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

ステップ 3.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

ステップ 3.3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

ステップ 3.3.1.5

$2 t$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

ステップ 3.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

ステップ 3.3.2

$2 t$ と $2 t$ をたし算します。

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

ステップ 3.4

$f (t) = t$ および $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5

微分します。

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ステップ 3.5.1

総和則では、 $4 t^{2} + 4 t + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.2

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.4

$2$ に $4$ をかけます。

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.5

$4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $4 t$ の微分係数は $4 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.7

$4$ に $1$ をかけます。

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.8

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.9

$8 t + 4$ と $0$ をたし算します。

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.5.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

ステップ 3.5.11

$4 t^{2} + 4 t + 1$ に $1$ をかけます。

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

ステップ 3.6

簡約します。

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ステップ 3.6.1

分配則を当てはめます。

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

ステップ 3.6.2

項をまとめます。

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ステップ 3.6.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

ステップ 3.6.2.2

$t$ を $1$ 乗します。

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

ステップ 3.6.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

ステップ 3.6.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

ステップ 3.6.2.5

$4$ を $t$ の左に移動させます。

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

ステップ 3.6.2.6

$8 t^{2}$ と $4 t^{2}$ をたし算します。

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

ステップ 3.6.2.7

$4 t$ と $4 t$ をたし算します。

$12 t^{2} + 8 t + 1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

ステップ 5

$x'$ を $\frac{d x}{d t}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$

微分積分 例

微分積分例