微分積分例

$e^{\frac{x}{y}}$

ステップ 1

$f (y) = e^{y}$ および $g (y) = \frac{x}{y}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{y}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{y}$ で置き換えます。

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$x$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{x}{y}$ の微分係数は $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ です。

$e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{y}$ を $y^{- 1}$ に書き換えます。

$e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{x}{y}} (x (- y^{- 2}))$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{\frac{x}{y}} (x (- \frac{1}{y^{2}}))$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$x$ と $\frac{1}{y^{2}}$ をまとめます。

$e^{\frac{x}{y}} (- \frac{x}{y^{2}})$

ステップ 3.2.2

$e^{\frac{x}{y}}$ と $\frac{x}{y^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{e^{\frac{x}{y}} x}{y^{2}}$

ステップ 3.3

$- \frac{e^{\frac{x}{y}} x}{y^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{x e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$

微分積分 例