微分積分例

${(x^{4} + 9)}^{8} (4 x^{3} d x)$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d (x^{3} x^{1})) d x$

ステップ 1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{3 + 1}) d x$

ステップ 1.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{4}) d x$

ステップ 1.4

$4$ を ${(x^{4} + 9)}^{8}$ の左に移動させます。

$\int 4 {(x^{4} + 9)}^{8} d x^{4} d x$

ステップ 2

$4 d$ は $x$ に対して定数なので、 $4 d$ を積分の外に移動させます。

$4 d \int {(x^{4} + 9)}^{8} x^{4} d x$

ステップ 3

$u_{1} = x^{4} + 9$ とします。次に $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$u_{1} = x^{4} + 9$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$x^{4} + 9$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 9]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x^{4} + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 3.1.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 3.1.4

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 0$

ステップ 3.1.5

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3}$

ステップ 3.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$4 d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{4}$ と ${u_{1}}^{8}$ をまとめます。

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8}}{4} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

ステップ 4.2

$\frac{{u_{1}}^{8}}{4}$ と $\sqrt[4]{u_{1} - 9}$ をまとめます。

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9}}{4} d u_{1}$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$4 d (\frac{1}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$d (\frac{4}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

ステップ 6.2

$\frac{4}{4}$ と $d$ をまとめます。

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

ステップ 6.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

ステップ 6.3.2

$d$ を $1$ で割ります。

$d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

ステップ 7

$u = {u_{1}}^{8}$ と $d v = \sqrt[4]{u_{1} - 9}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$d ({u_{1}}^{8} (\frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

ステップ 8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{4}{5}$ と ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ をまとめます。

$d ({u_{1}}^{8} \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

ステップ 8.2

${u_{1}}^{8}$ と $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ をまとめます。

$d (\frac{{u_{1}}^{8} (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

ステップ 8.3

$4$ を ${u_{1}}^{8}$ の左に移動させます。

$d (\frac{4 \cdot {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

ステップ 8.4

$\frac{4}{5}$ と ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ をまとめます。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

ステップ 8.5

$8$ と $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ をまとめます。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{8 (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

ステップ 8.6

$4$ に $8$ をかけます。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

ステップ 8.7

$\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ と ${u_{1}}^{7}$ をまとめます。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{7}}{5} d u_{1})$

ステップ 9

$\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ を積分の外に移動させます。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} \int {u_{1}}^{7} d u_{1}))$

ステップ 10

べき乗則では、 ${u_{1}}^{7}$ の $u_{1}$ に関する積分は $\frac{1}{8} {u_{1}}^{8}$ です。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{1}{8} {u_{1}}^{8} + C))$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{1}{8}$ と ${u_{1}}^{8}$ をまとめます。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$

ステップ 11.2

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$ を $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$ に書き換えます。

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

ステップ 11.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

項を並べ替えます。

$d (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

ステップ 11.3.2

$\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ から $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ を引きます。

$d \cdot 0 + C$

ステップ 11.3.3

$d$ に $0$ をかけます。

$0 + C$

ステップ 11.3.4

$0$ と $C$ をたし算します。

$C$

微分積分 例

微分積分例