微分積分例

$y = \arctan (\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ を ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\arctan ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\arctan (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

${({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{1}{1 + \frac{1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\frac{1 - x}{1 - x} + \frac{1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{1 - x + 1 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{- x + 2 + x}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 8

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{0 + 2}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{\frac{2}{1 - x}} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 10

分数の逆数を掛け、 $\frac{2}{1 - x}$ で割ります。

$1 \frac{1 - x}{2} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 11

$\frac{1 - x}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x}{2} \frac{d}{d x} [{(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 12

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 12.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{1 + x}{1 - x}$ とします。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 12.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 12.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{1 + x}{1 - x}$ で置き換えます。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 13

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 14

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 16

分子を簡約します。

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ステップ 16.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 16.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 17

分数をまとめます。

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ステップ 17.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1 - x}{2} (\frac{1}{2} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 17.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1 - x}{2}$ をかけます。

$\frac{1 - x}{2 \cdot 2} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 17.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x}{1 - x}])$

ステップ 18

$f (x) = 1 + x$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19

微分します。

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ステップ 19.1

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.5

$1 - x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.6

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.10

掛け算します。

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ステップ 19.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.10.2

$1 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.12

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.12.1

$1 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.12.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.12.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.12.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1 - x}{4} ({(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2}{{(1 - x)}^{2}})$

ステップ 19.12.5

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$ に $\frac{1 - x}{4}$ をかけます。

$\frac{2 (1 - x)}{{(1 - x)}^{2} \cdot 4} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 19.12.6

$4$ を ${(1 - x)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 (1 - x)}{4 \cdot {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 20

共通因数を約分します。

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ステップ 20.1

$2$ を $4 {(1 - x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 - x)}{2 (2 {(1 - x)}^{2})} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 20.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 - x)}{2 (2 {(1 - x)}^{2})} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 20.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - x}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 21

$1 - x$ と ${(1 - x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 21.1

$1$ を掛けます。

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{2 {(1 - x)}^{2}} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 21.2

共通因数を約分します。

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ステップ 21.2.1

$1 - x$ を $2 {(1 - x)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (2 (1 - x))} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 21.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 - x) \cdot 1}{(1 - x) (2 (1 - x))} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 21.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 (1 - x)} {(\frac{1 + x}{1 - x})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 22

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{1}{2 (1 - x)} {(\frac{1 - x}{1 + x})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 22.2

積の法則を $\frac{1 - x}{1 + x}$ に当てはめます。

$\frac{1}{2 (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 (- x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 + 2 (- x)} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2 - 2 x} \cdot \frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.4.3

$\frac{1}{2 - 2 x}$ に $\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{(2 - 2 x) {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.5

項を並べ替えます。

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 - 2 x)}$

ステップ 22.6

$2$ を $2 - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 22.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1) - 2 x)}$

ステップ 22.6.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1) + 2 (- x))}$

ステップ 22.6.3

$2$ を $2 (1) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 (1 - x))}$

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (1 - x)}$

ステップ 22.7

項を並べ替えます。

$\frac{{(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)}$

ステップ 22.8

$- x + 1$ を ${(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)}$

ステップ 22.9

共通因数を約分します。

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ステップ 22.9.1

$- x + 1$ を ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (- x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{(- x + 1) ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2)}$

ステップ 22.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{(- x + 1) {(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{(- x + 1) ({(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2)}$

ステップ 22.9.3

式を書き換えます。

$\frac{{(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

ステップ 22.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22.11

$2$ を ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例