微分積分例

$y = \arctan (\sqrt{x})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 9

分子を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 10

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 11

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 12

$\frac{1}{1 + x}$ に $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をかけます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x) \cdot 2}$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

$2$ を $1 + x$ の左に移動させます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x)}$

ステップ 13.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 (1 + x) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 x) x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3

項をまとめます。

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ステップ 14.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 14.3.2

指数を足して $x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 14.3.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

ステップ 14.3.2.2

$x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 14.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

ステップ 14.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 14.3.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 14.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 14.3.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.4

分母を簡約します。

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ステップ 14.4.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 14.4.1.1

$2 x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.4.1.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 14.4.1.3

$2 x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 14.4.2

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{1})}$

ステップ 14.4.3

簡約します。

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

微分積分 例

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