微分積分例

$y = \log_{5} (\sqrt{x^{2} - 1})$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} - 1}$ を ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

ステップ 2

$f (x) = \log_{5} (x)$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\log_{5} (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ です。

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} - 1$ とします。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

ステップ 11

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 13.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 14.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 15

簡約します。

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 16

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 17

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 18

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x + 0)$

ステップ 19

項を簡約します。

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ステップ 19.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x)$

ステップ 19.2

$2$ と $\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} x$

ステップ 19.3

$\frac{2}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$

ステップ 19.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 19.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$

ステップ 19.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x}{(x^{2} - 1) \ln (5)}$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x}{x^{2} \ln (5) - 1 \ln (5)}$

ステップ 20.2

$- 1 \ln (5)$ を $- \ln (5)$ に書き換えます。

$\frac{x}{x^{2} \ln (5) - \ln (5)}$

微分積分 例

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