微分積分例

$y = \frac{1 + \csc (x)}{1 - \csc (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 1 + \csc (x)$ および $g (x) = 1 - \csc (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 + \csc (x)] - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 + \csc (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ です。

$\frac{(1 - \csc (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\csc (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)] - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [1 - \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $1 - \csc (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ です。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \csc (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [- \csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \csc (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ です。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) - (1 + \csc (x)) (- \frac{d}{d x} [\csc (x)])}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 4.5

掛け算します。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 4.5.2

$1 + \csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$\frac{(1 - \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + (1 + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1 (- \csc (x) \cot (x)) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.3.1.1

$- \csc (x) \cot (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

$- \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.2

$\csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (\csc (x) \cot (x)) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.3

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.4

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + 1 (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.3

$- \csc (x) \cot (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) + \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.5

$- \csc (x) \csc (x)$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1.5.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.5.2

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.2

$- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \cot (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.3.2.1

$\csc^{2} (x) \cot (x)$ から $\csc^{2} (x) \cot (x)$ を引きます。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) + 0}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.2.2

$- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.3

$- \csc (x) \cot (x)$ から $\csc (x) \cot (x)$ を引きます。

$\frac{- 2 \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

ステップ 6.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \csc (x) \cot (x)}{{(1 - \csc (x))}^{2}}$

微分積分 例

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