微分積分例

$y = \frac{e^{7 x} + e^{- 7 x}}{x}$

ステップ 1

$f (x) = e^{7 x} + e^{- 7 x}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{7 x} + e^{- 7 x}] - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

総和則では、 $e^{7 x} + e^{- 7 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $7 x$ とします。

$\frac{x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$\frac{x (e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x (e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3.2

$7$ を $e^{7 x}$ の左に移動させます。

$\frac{x (7 \cdot e^{7 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 7 x$ とします。

$\frac{x (7 e^{7 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 7 x$ で置き換えます。

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x])) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 7$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} \cdot - 7) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6.3.2

$- 7$ を $e^{- 7 x}$ の左に移動させます。

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 \cdot e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 6.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x})}{x^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (7 e^{7 x}) + x (- 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x})}{x^{2}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (7 e^{7 x}) + x (- 7 e^{- 7 x}) - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.3

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{7 x e^{7 x} + x (- 7 e^{- 7 x}) - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{7 x e^{7 x} - 7 x e^{- 7 x} - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$\frac{7 e^{7 x} x - 7 e^{- 7 x} x - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

ステップ 7.5

$\frac{7 e^{7 x} x - 7 e^{- 7 x} x - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{7 x e^{7 x} - 7 x e^{- 7 x} - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例