微分積分例

$y = \frac{e^{x}}{2 x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x e^{x} + e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$e^{x}$ から $2 e^{x}$ を引きます。

$\frac{2 x e^{x} - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 e^{x} x - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$e^{x}$ を $2 e^{x} x - e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$e^{x}$ を $2 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (2 x) - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

$e^{x}$ を $- e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4.3

$e^{x}$ を $e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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