微分積分例

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 1$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4

$2$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{4} - (x^{2} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 6

くくりだして簡約します。

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ステップ 6.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 6.2

$x^{2}$ を $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$x^{2}$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 6.2.2

$x^{2}$ を $- 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

ステップ 6.2.3

$x^{2}$ を $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

ステップ 7

共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 7.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1)}{x^{4}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1}{x^{4}}$

ステップ 8.2

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 3}{x^{4}}$

ステップ 8.2.2

$2 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 3}{x^{4}}$

ステップ 8.3

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) + 3}{x^{4}}$

ステップ 8.4

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{x^{4}}$

ステップ 8.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

ステップ 8.6

$- (x^{2} - 3)$ を $- 1 (x^{2} - 3)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

ステップ 8.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x^{2} - 3}{x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例