微分積分例

$y = {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = 3 x^{2} + 5 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{2} + 5 x + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

ステップ 1.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $3 x^{2} + 5 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

ステップ 2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

ステップ 3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

ステップ 5.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

ステップ 6

$\frac{3}{2}$ と ${(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

ステップ 7

総和則では、 $3 x^{2} + 5 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 10

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 11

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 13

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 14

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 + 0)$

ステップ 15

$6 x + 5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5)$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5)$ の因数を並べ替えます。

$(6 x + 5) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.2

分配則を当てはめます。

$6 x \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.3.1

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$2 (3 x) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.3.2

共通因数を約分します。

$2 (3 x) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.3.3

式を書き換えます。

$3 x (3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.4

$3$ に $3$ をかけます。

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.5

$5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 16.5.1

$5$ と $\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{5 (3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 16.5.2

$3$ に $5$ をかけます。

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.6

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.7

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.9

分子を簡約します。

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ステップ 16.9.1

$3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 16.9.1.1

式を並べ替えます。

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ステップ 16.9.1.1.1

${(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{9 x \cdot 2 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.9.1.1.2

$x$ を移動させます。

$\frac{9 \cdot 2 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.9.1.2

$3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $9 \cdot 2 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16.9.1.3

$3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (5)}{2}$

ステップ 16.9.1.4

$3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (5)$ で因数分解します。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x + 5)}{2}$

ステップ 16.9.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x + 5)}{2}$

微分積分 例

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