微分積分例

$y = {(1 - x^{- 1})}^{- 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 - x^{- 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{- 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

ステップ 1.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{- 1}$ で置き換えます。

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $1 - x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ です。

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

ステップ 2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ をたし算します。

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{- 1}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ です。

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 2.5

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.5.2

${(1 - x^{- 1})}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.6

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$ の因数を並べ替えます。

$- x^{- 2} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

ステップ 3.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

ステップ 3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - \frac{1}{x})}^{- 2}$

ステップ 3.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(1 - \frac{1}{x})}^{2}}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}$

ステップ 3.5.2

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x - 1}{x})}^{2}}$

ステップ 3.5.3

積の法則を $\frac{x - 1}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{x^{2}} (1 \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}})$

ステップ 3.7

$\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例