微分積分例

$x \sin^{2} (x)$

ステップ 1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin^{2} (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$x (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \cdot 1$

ステップ 4.2

$\sin^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$x (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

項を並べ替えます。

$2 x \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x)$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

括弧を付けます。

$2 x (\cos (x) \sin (x)) + \sin^{2} (x)$

ステップ 5.2.2

$2 x$ と $\cos (x) \sin (x)$ を並べ替えます。

$\cos (x) \sin (x) (2 x) + \sin^{2} (x)$

ステップ 5.2.3

括弧を付けます。

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) x + \sin^{2} (x)$

ステップ 5.2.4

$\cos (x)$ と $\sin (x) \cdot 2$ を並べ替えます。

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) x + \sin^{2} (x)$

ステップ 5.2.5

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) x + \sin^{2} (x)$

ステップ 5.2.6

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x) x + \sin^{2} (x)$

ステップ 5.3

$\sin (2 x) x + \sin^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$x \sin (2 x) + \sin^{2} (x)$

微分積分 例

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