微分積分例

$y = (\csc (x) + \cot (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 1

$f (x) = \csc (x) + \cot (x)$ および $g (x) = \csc (x) - \cot (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(\csc (x) + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) - \cot (x)] + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

ステップ 2

総和則では、 $\csc (x) - \cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ です。

$(\csc (x) + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

ステップ 3

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

ステップ 4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cot (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ です。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

ステップ 5

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - - \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

ステップ 6

和の法則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + 1 \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

ステップ 6.2

$\csc^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x) + \cot (x)]$

ステップ 6.3

総和則では、 $\csc (x) + \cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ です。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 7

$x$ に関する $\csc (x)$ の微分係数は $- \csc (x) \cot (x)$ です。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

ステップ 8

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$(\csc (x) + \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) + (\csc (x) - \cot (x)) (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x))$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

項を並べ替えます。

$(- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(- \csc (x) \cot (x) + \csc^{2} (x)) (\csc (x) + \cot (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

分配則を当てはめます。

$- \csc (x) \cot (x) (\csc (x) + \cot (x)) + \csc^{2} (x) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.1.2

分配則を当てはめます。

$- \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) (\csc (x) + \cot (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.1.3

分配則を当てはめます。

$- \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1

$- \csc (x) \cot (x) \csc (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.1.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.1.1.2

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$- (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.1.2

$- \csc (x) \cot (x) \cot (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.2.1

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.1.2.2

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) \csc (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.1.3

指数を足して $\csc^{2} (x)$ に $\csc (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.3.1

$\csc^{2} (x)$ に $\csc (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1.3.1.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) \csc^{1} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + {\csc (x)}^{2 + 1} + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.1.3.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.2

$- \csc^{2} (x) \cot (x)$ と $\csc^{2} (x) \cot (x)$ をたし算します。

$0 - \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.2.3

$0$ から $\csc (x) \cot^{2} (x)$ を引きます。

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.3

$\csc (x)$ を $- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc^{3} (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$\csc (x)$ を $- \csc (x) \cot^{2} (x)$ で因数分解します。

$\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc^{3} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.3.2

$\csc (x)$ を $\csc^{3} (x)$ で因数分解します。

$\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \csc^{2} (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.3.3

$\csc (x)$ を $\csc (x) (- \cot^{2} (x)) + \csc (x) \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\csc (x) (- \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.4

$- \cot^{2} (x)$ と $\csc^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\csc (x) (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\csc (x) \cdot 1 + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.6

$\csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\csc (x) + (- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.7

分配法則（FOIL法）を使って $(- \csc (x) \cot (x) - \csc^{2} (x)) (\csc (x) - \cot (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.7.1

分配則を当てはめます。

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) (\csc (x) - \cot (x)) - \csc^{2} (x) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.7.2

分配則を当てはめます。

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) (\csc (x) - \cot (x))$

ステップ 9.2.7.3

分配則を当てはめます。

$\csc (x) - \csc (x) \cot (x) \csc (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.8.1.1

$- \csc (x) \cot (x) \csc (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.8.1.1.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.1.2

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\csc (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\csc (x) - {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) - \csc (x) \cot (x) (- \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.2

$- \csc (x) \cot (x) (- \cot (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.8.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + 1 \csc (x) \cot (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.2.2

$\csc (x)$ に $1$ をかけます。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x) \cot (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.2.3

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.2.4

$\cot (x)$ を $1$ 乗します。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{2} (x) \csc (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.3

指数を足して $\csc^{2} (x)$ に $\csc (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.8.1.3.1

$\csc (x)$ を移動させます。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc (x) \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.3.2

$\csc (x)$ に $\csc^{2} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.8.1.3.2.1

$\csc (x)$ を $1$ 乗します。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2} - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) - \csc^{2} (x) (- \cot (x))$

ステップ 9.2.8.1.4

$- \csc^{2} (x) (- \cot (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.8.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) + 1 \csc^{2} (x) \cot (x)$

ステップ 9.2.8.1.4.2

$\csc^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$\csc (x) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)$

ステップ 9.2.8.2

$- \csc^{2} (x) \cot (x)$ と $\csc^{2} (x) \cot (x)$ をたし算します。

$\csc (x) + 0 + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

ステップ 9.2.8.3

$0$ と $\csc (x) \cot^{2} (x)$ をたし算します。

$\csc (x) + \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

ステップ 9.2.9

$\csc (x)$ を $\csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.9.1

$\csc (x)$ を $\csc (x) \cot^{2} (x)$ で因数分解します。

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x)) - \csc^{3} (x)$

ステップ 9.2.9.2

$\csc (x)$ を $- \csc^{3} (x)$ で因数分解します。

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

ステップ 9.2.9.3

$\csc (x)$ を $\csc (x) (\cot^{2} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$ で因数分解します。

$\csc (x) + \csc (x) (\cot^{2} (x) - \csc^{2} (x))$

ステップ 9.2.10

$\cot^{2} (x)$ と $- \csc^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\csc (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x) + \cot^{2} (x))$

ステップ 9.2.11

$- 1$ を $- \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x)) + \cot^{2} (x))$

ステップ 9.2.12

$- 1$ を $\cot^{2} (x)$ で因数分解します。

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x)))$

ステップ 9.2.13

$- 1$ を $- (\csc^{2} (x)) - 1 (- \cot^{2} (x))$ で因数分解します。

$\csc (x) + \csc (x) (- (\csc^{2} (x) - \cot^{2} (x)))$

ステップ 9.2.14

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\csc (x) + \csc (x) (- 1 \cdot 1)$

ステップ 9.2.15

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\csc (x) + \csc (x) \cdot - 1$

ステップ 9.2.16

$- 1$ を $\csc (x)$ の左に移動させます。

$\csc (x) - 1 \cdot \csc (x)$

ステップ 9.2.17

$- 1 \csc (x)$ を $- \csc (x)$ に書き換えます。

$\csc (x) - \csc (x)$

ステップ 9.3

$\csc (x)$ から $\csc (x)$ を引きます。

$0$

微分積分 例

微分積分例