微分積分例

$\sin (\frac{π}{x})$

ステップ 1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{π}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{π}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{π}{x}$ で置き換えます。

$\cos (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{π}{x}$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$\cos (\frac{π}{x}) (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\cos (\frac{π}{x}) (π \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

ステップ 2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (\frac{π}{x}) (π (- x^{- 2}))$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\cos (\frac{π}{x}) (π (- \frac{1}{x^{2}}))$

ステップ 3.2

項をまとめます。

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ステップ 3.2.1

$π$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$\cos (\frac{π}{x}) (- \frac{π}{x^{2}})$

ステップ 3.2.2

$\cos (\frac{π}{x})$ と $\frac{π}{x^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) π}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) π}{x^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x})}{x^{2}}$

微分積分 例