微分積分例

$\tan (\arcsin (x))$

ステップ 1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\tan (\arcsin (x))$ は $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - x^{2}}$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - x^{2}}$

ステップ 5.2

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{1 - x^{2}}$

ステップ 6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 6.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 11.4

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{1 - x^{2}}$

ステップ 12

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 14

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{1 - x^{2}}$

ステップ 15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{1 - x^{2}}$

ステップ 16

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 - x^{2}}$

ステップ 16.2

$\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{1 - x^{2}}$

ステップ 17

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{1 - x^{2}}$

ステップ 18

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$2$ と $\frac{x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x}{1 - x^{2}}$

ステップ 18.2

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x \cdot x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 19

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x^{1} x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 20

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 22

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 23

共通因数を約分します。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 24

式を書き換えます。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 25

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 26

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 27

指数を足して ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 27.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 27.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 27.4

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{1} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 28

${(1 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$\frac{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 29

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\frac{1 + 0}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 30

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$

ステップ 31

$\frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{2}}$

ステップ 32

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{1 - x^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})}$

ステップ 33

指数を足して ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1 - x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 33.1

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1 - x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 33.1.1

$1 - x^{2}$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{1}}$

ステップ 33.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 33.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 33.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 33.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 34

項を並べ替えます。

$\frac{1}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例