微分積分例

$\arctan (\frac{x}{3})$

ステップ 1

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = \frac{x}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{3}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})} \cdot 1$

ステップ 2.4

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{x}{3})}^{2})}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

積の法則を $\frac{x}{3}$ に当てはめます。

$\frac{1}{3 (1 + \frac{x^{2}}{3^{2}})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3 \cdot 1 + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 + 3 \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 3.3.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{3 + 3 \frac{x^{2}}{9}}$

ステップ 3.3.3

$3$ と $\frac{x^{2}}{9}$ をまとめます。

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{9}}$

ステップ 3.3.4

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 + \frac{3 (x^{2})}{9}}$

ステップ 3.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.4.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}}$

ステップ 3.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3 + \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}}$

ステップ 3.3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{3 + \frac{x^{2}}{3}}$

ステップ 3.4

項を並べ替えます。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 3.5.2

$3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 3 \cdot 3}{3}}$

ステップ 3.5.4

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 9}{3}}$

ステップ 3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{3}{x^{2} + 9}$

ステップ 3.7

$\frac{3}{x^{2} + 9}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{x^{2} + 9}$

微分積分 例

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