微分積分例

$\int (2 x) e^{4 x} d x$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int (x) e^{4 x} d x$

ステップ 2

$u = x$ と $d v = e^{4 x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$2 (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$2 (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

ステップ 3.2

$x$ と $\frac{e^{4 x}}{4}$ をまとめます。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x)$

ステップ 3.3

$\frac{1}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x)$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x))$

ステップ 5

$u = 4 x$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 5.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{4} d u)$

ステップ 6

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

ステップ 8.2

$4$ に $4$ をかけます。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

ステップ 10

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ を $2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ に書き換えます。

$2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$2 (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.1.1

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$2 (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

ステップ 12.1.2

$\frac{x}{4}$ と $e^{4 x}$ をまとめます。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x}) + C$

ステップ 12.1.3

$e^{4 x}$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$2 \frac{x e^{4 x}}{4} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

ステップ 12.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \frac{x e^{4 x}}{2 (2)} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

ステップ 12.3.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

ステップ 12.3.3

式を書き換えます。

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- \frac{e^{4 x}}{16}) + C$

ステップ 12.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.4.1

$- \frac{e^{4 x}}{16}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{16} + C$

ステップ 12.4.2

$2$ を $16$ で因数分解します。

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 (8)} + C$

ステップ 12.4.3

共通因数を約分します。

$\frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8} + C$

ステップ 12.4.4

式を書き換えます。

$\frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{- e^{4 x}}{8} + C$

ステップ 12.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{e^{4 x}}{8} + C$

ステップ 13

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x e^{4 x} - \frac{1}{8} e^{4 x} + C$

微分積分 例

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