微分積分例

$f (x) = e^{2 x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = e^{2 x - 1}$ を方程式で書きます。

$y = e^{2 x - 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = e^{2 y - 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $e^{2 y - 1} = x$ として書き換えます。

$e^{2 y - 1} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

ステップ 3.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.3.1

$2 y - 1$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 y - 1})$ を展開します。

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

ステップ 3.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

ステップ 3.3.3

$2 y - 1$ に $1$ をかけます。

$2 y - 1 = \ln (x)$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 y = \ln (x) + 1$

ステップ 3.5

$2 y = \ln (x) + 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2 y = \ln (x) + 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ が $f (x) = e^{2 x - 1}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

ステップ 5.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

対数の法則を利用して指数の外に $2 x - 1$ を移動します。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

ステップ 5.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

ステップ 5.2.4.3

$2 x - 1$ に $1$ をかけます。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

ステップ 5.2.5

項を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$2 x - 1 + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.5.1.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

ステップ 5.2.5.1.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

ステップ 5.2.5.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

$\frac{\ln (x)}{2}$ を $\frac{1}{2} \ln (x)$ に書き換えます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

ステップ 5.3.3.1.2

対数の中の $\frac{1}{2}$ を移動させて $\frac{1}{2} \ln (x)$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

ステップ 5.3.3.2

分配則を当てはめます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

ステップ 5.3.3.3

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ を簡約します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

ステップ 5.3.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

ステップ 5.3.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

ステップ 5.3.3.5

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.5.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.3.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

ステップ 5.3.3.5.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

ステップ 5.3.3.5.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

ステップ 5.3.3.5.2

簡約します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

ステップ 5.3.4

$\ln (x) + 1 - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

ステップ 5.3.4.2

$\ln (x)$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

ステップ 5.3.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ は $f (x) = e^{2 x - 1}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

微分積分 例

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