微分積分例

$f (x) = e^{\sqrt{x} + 21} + e^{p}$

ステップ 1

総和則では、 $e^{\sqrt{x} + 21} + e^{p}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 21$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}} + 21$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}} + 21$ で置き換えます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + 21$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [21]$ です。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [21]) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.4

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [21]) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.5

$21$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $21$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.8

公分母の分子をまとめます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.9

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.11

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ と $0$ をたし算します。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.13

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 2.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

ステップ 3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$e^{p}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $e^{p}$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

ステップ 3.2

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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