微分積分例

$f (x) = x e^{- x}$

ステップ 1

式 $x e^{- x}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

$x e^{- x}$ を $\frac{x}{e^{x}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

ステップ 3.2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 3.2.1.2

首位係数が正である多項式の無限大における極限は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

ステップ 3.2.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.2.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.2.3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

ステップ 3.3

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{x}}$ は $0$ に近づきます。

$0$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 0$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例