微分積分例

$x^{3} < 4 x$

ステップ 1

不等式の両辺から $4 x$ を引きます。

$x^{3} - 4 x < 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} - 4 x = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{3} - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

ステップ 3.1.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

ステップ 3.1.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 3.3

因数分解。

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ステップ 3.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 3.3.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 7

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 8

最終解は $x (x + 2) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{3} < 4 (- 4)$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 64$ は右辺 $- 16$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $- 2 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 2 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

${(- 1)}^{3} < 4 (- 1)$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $- 4$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

${(1)}^{3} < 4 (1)$

ステップ 10.3.3

左辺 $1$ は右辺 $4$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{3} < 4 (4)$

ステップ 10.4.3

左辺 $64$ は右辺 $16$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$x > 2$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 2$ または $0 < x < 2$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$

ステップ 13

微分積分 例

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